微分積分例

$f (x) = \arccos (\ln (x^{2}))$

ステップ 1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = \ln (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\arccos (u_{1})$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x^{2})$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ をかけます。

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (2 x)$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

ステップ 3.3.2

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

ステップ 3.3.3

$\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.3.4

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$x$ を $x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

微分積分 例

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