微分積分例

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$

ステップ 1

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x + 20$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

ステップ 2.1.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 20$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

ステップ 2.1.1.2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

ステップ 2.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

ステップ 2.1.1.2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

ステップ 2.1.1.2.6

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + 0)$

ステップ 2.1.1.2.7

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$

ステップ 2.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

ステップ 2.1.1.3.2

$2 x - 4$ に $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ をかけます。

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ を $2 x - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

ステップ 2.1.1.3.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 20}$

ステップ 2.1.1.3.3.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.4.2

$x^{2} - 4 x + 20$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.5

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.7

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.9

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.10

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.11.1

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.11.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.2

$2$ に $20$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 2) (2 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.1.6

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.5.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.3.1.7.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.7.2

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.1.7.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.2

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 40 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.3

$- 8 x$ と $16 x$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 40 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.3.4

$40$ から $16$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.1

$2$ を $- 2 x^{2} + 8 x + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.1.2

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.1.3

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.1.4

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.1.5

$2$ を $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.2.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2.1.2

$4$ を $- 2$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 (x (- x - 2) - 6 (- x - 2))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.4.2.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{2 ((- x - 2) (x - 6))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.6

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.8

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.10

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 (x + 2) (x - 6) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 2.2.3.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.2.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.2.3.3

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.2.3.3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.2.3.4

最終解は $2 (x + 2) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 6$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 4 x + 20 > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

ステップ 3.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2.3

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 20$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.2.2

$- 4$ に $20$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.3

$16$ から $80$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{4 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 4 i$

ステップ 3.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.2.2

$- 4$ に $20$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.3

$16$ から $80$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

ステップ 3.2.5.3

$\frac{4 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 4 i$

ステップ 3.2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + 4 i$

ステップ 3.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.2.2

$- 4$ に $20$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.3

$16$ から $80$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

ステップ 3.2.6.3

$\frac{4 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 4 i$

ステップ 3.2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - 4 i$

ステップ 3.2.7

首位係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$x^{2}$

ステップ 3.2.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$1$

ステップ 3.2.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $x^{2} - 4 x + 20$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 3.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 2) ((- 4) - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 2 (- 4 - 6))}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 (- 4 - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$- 4$ から $6$ を引きます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 + 16 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$16$ と $16$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(32 + 20)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.4

$32$ と $20$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{52^{2}}$

ステップ 5.2.2.5

$52$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{2704}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 4$ に $- 10$ をかけます。

$f'' (- 4) = - \frac{40}{2704}$

ステップ 5.2.3.2

$40$ と $2704$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$8$ を $40$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = - \frac{8 (5)}{2704}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

$8$ を $2704$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

ステップ 5.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{5}{338}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{5}{338}$ です。

$- \frac{5}{338}$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 2, 6)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 2) ((0) - 6)}{{({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (2 (0 - 6))}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 6)}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ から $6$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 20)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$0$ と $20$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{20^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$20$ を $2$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{400}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$4$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{- 24}{400}$

ステップ 6.2.3.2

$- 24$ と $400$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$8$ を $- 24$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{8 (- 3)}{400}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

$8$ を $400$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

ステップ 6.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{- 3}{50}$

ステップ 6.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = \frac{3}{50}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{3}{50}$ です。

$\frac{3}{50}$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 2, 6)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 2, 6)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(6, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = - \frac{2 ((8) + 2) ((8) - 6)}{{({(8)}^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$8$ と $2$ をたし算します。

$f'' (8) = - \frac{2 \cdot (10 (8 - 6))}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$2$ に $10$ をかけます。

$f'' (8) = - \frac{20 (8 - 6)}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$8$ から $6$ を引きます。

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 32 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$64$ から $32$ を引きます。

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(32 + 20)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$32$ と $20$ をたし算します。

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{52^{2}}$

ステップ 7.2.2.5

$52$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{2704}$

ステップ 7.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$20$ に $2$ をかけます。

$f'' (8) = - \frac{40}{2704}$

ステップ 7.2.3.2

$40$ と $2704$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$8$ を $40$ で因数分解します。

$f'' (8) = - \frac{8 (5)}{2704}$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.2.1

$8$ を $2704$ で因数分解します。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

ステップ 7.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

ステップ 7.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (8) = - \frac{5}{338}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{5}{338}$ です。

$- \frac{5}{338}$

ステップ 7.3

$f'' (8)$ が負なので、区間 $(6, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 2, 6)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例