微分積分例

$x e^{x}$

ステップ 1

$x e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{x}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 2.1.1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x e^{x} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.1.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.1.2.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.1.2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x e^{x} + 2 e^{x}$ です。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2

$e^{x}$ を $x e^{x} + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2.2

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$e^{x} (x + 2) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.2.6

最終解は $e^{x} (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

ステップ 5.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

ステップ 5.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

ステップ 5.2.1.5

$2$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

ステップ 5.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

ステップ 5.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- \frac{2}{e^{4}}$ です。

$- \frac{2}{e^{4}}$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

ステップ 6.2.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 2$

ステップ 6.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (0) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

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