微分積分例

$f (x) = 5 x \ln (7 x) - 5 x$

ステップ 1

総和則では、 $5 x \ln (7 x) - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x \ln (7 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x \ln (7 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [5 x \ln (7 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x \ln (7 x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x \ln (7 x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x \ln (7 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (7 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x$ とします。

$5 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$5 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$5 (x (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.4

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (x (\frac{1}{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (\frac{1}{7 x} (7 \cdot 1)) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (\frac{1}{7 x} (7 \cdot 1)) + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.7

$7$ に $1$ をかけます。

$5 (x (\frac{1}{7 x} \cdot 7) + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.8

$\frac{1}{7 x}$ と $7$ をまとめます。

$5 (x \frac{7}{7 x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.9

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1

共通因数を約分します。

$5 (x \frac{7}{7 x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.9.2

式を書き換えます。

$5 (x \frac{1}{x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.10

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$5 (\frac{x}{x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.11

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.1

共通因数を約分します。

$5 (\frac{x}{x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.11.2

式を書き換えます。

$5 (1 + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.12

$\ln (7 x)$ に $1$ をかけます。

$5 (1 + \ln (7 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (1 + \ln (7 x)) - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (1 + \ln (7 x)) - 5 \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$5 (1 + \ln (7 x)) - 5$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$5 \cdot 1 + 5 \ln (7 x) - 5$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + 5 \ln (7 x) - 5$

ステップ 4.2.2

$5$ から $5$ を引きます。

$5 \ln (7 x) + 0$

ステップ 4.2.3

$5 \ln (7 x)$ と $0$ をたし算します。

$5 \ln (7 x)$

微分積分 例

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