微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{y + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

ステップ 3.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

ステップ 3.2.3

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

ステップ 3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

ステップ 3.2.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

ステップ 3.4.1.2

式を書き換えます。

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $4$ を足します。

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

ステップ 3.6

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

ステップ 3.7

左辺を展開します。

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ステップ 3.7.1

$y + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y + 1})$ を展開します。

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

ステップ 3.7.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

ステップ 3.7.3

$y + 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

ステップ 3.8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ が $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{x + 1}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.1.3

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.1.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.1.6.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

ステップ 5.2.3.2

$e^{x + 1} - 4 + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

ステップ 5.2.3.2.2

$e^{x + 1}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

ステップ 5.2.3.3

対数の法則を利用して指数の外に $x + 1$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

ステップ 5.2.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

ステップ 5.2.3.5

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

ステップ 5.2.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ の値を求めます。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

ステップ 5.3.3

$\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

ステップ 5.3.3.2

$\ln (2 x + 4)$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

ステップ 5.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

ステップ 5.3.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

ステップ 5.3.4.3.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

ステップ 5.3.4.3.3

式を書き換えます。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

ステップ 5.3.4.4.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

ステップ 5.3.4.4.3

式を書き換えます。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

ステップ 5.3.5

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ は $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

微分積分 例

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