微分積分例

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

ステップ 1

総和則では、 $\cot (- x) + \sec (π x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\cot (u_{1})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{1})$ です。

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 2.6

$\csc^{2} (- x)$ に $1$ をかけます。

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x$ とします。

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 3.4

$π$ に $1$ をかけます。

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\csc (- x)$ が奇関数なので、 $\csc (- x)$ を $- \csc (x)$ に書き換えます。

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

ステップ 4.2.2

積の法則を $- \csc (x)$ に当てはめます。

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

ステップ 4.2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

ステップ 4.2.4

$\csc^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$

微分積分 例

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