微分積分例

$y = \sqrt[5]{x^{4}} + x^{4 e}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt[5]{x^{4}} + x^{4 e}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{4}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{4}}$ を $x^{\frac{4}{5}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{4}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.6.2

$4$ から $5$ を引きます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}} + \frac{d}{d x} [x^{4 e}]$

ステップ 3

$n = 4 e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}} + 4 e x^{4 e - 1}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{4}{5}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ をかけます。

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1}$

ステップ 5.1.2

$4 e x^{4 e - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ を掛けます。

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 e x^{4 e - 1} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.3

$4 e x^{4 e - 1}$ と $\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{4 e x^{4 e - 1} (5 x^{\frac{1}{5}})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 + 4 e x^{4 e - 1} (5 x^{\frac{1}{5}})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.5

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e - 1} x^{\frac{1}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6

指数を足して $x^{4 e - 1}$ に $x^{\frac{1}{5}}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.6.1

$x^{\frac{1}{5}}$ を移動させます。

$\frac{4 + 20 e (x^{\frac{1}{5}} x^{4 e - 1})}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 + 20 e x^{\frac{1}{5} + 4 e - 1}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.6.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{1 - 5}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.6.2

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e + \frac{- 4}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.1.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 + 20 e x^{4 e - \frac{4}{5}}}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{20 e x^{4 e - \frac{4}{5}} + 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

微分積分 例

微分積分例