微分積分例

$f (x) = x^{7} {(4 - x)}^{8}$

ステップ 1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = {(4 - x)}^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{8}] + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.5

$- 1$ に $8$ をかけます。

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \cdot 1) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.7

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 3.8

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} (7 x^{6})$

ステップ 3.9

$7$ を ${(4 - x)}^{8}$ の左に移動させます。

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 \cdot {(4 - x)}^{8} x^{6}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{6} {(4 - x)}^{7}$ を $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{6} {(4 - x)}^{7}$ を $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7})$ で因数分解します。

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$

ステップ 4.1.2

$x^{6} {(4 - x)}^{7}$ を $7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ で因数分解します。

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$

ステップ 4.1.3

$x^{6} {(4 - x)}^{7}$ を $x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$ で因数分解します。

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8) + 7 (4 - x))$

ステップ 4.2

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (- 8 x + 7 (4 - x))$

微分積分 例

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