微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 1.3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

ステップ 1.3.7

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ を $\sec (2 \cdot 0)$ に変換します。

$\frac{1}{2} \sec (2 \cdot 0)$

ステップ 4.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \sec (0)$

ステップ 4.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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