微分積分例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{4}$ から $x^{4}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

ステップ 2.2.2

$- 5 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 5 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

ステップ 3.1.1.2

$x^{2}$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

ステップ 3.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

ステップ 3.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

ステップ 3.2

$- 5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

ステップ 4

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

ステップ 5.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

ステップ 5.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

ステップ 5.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.2.1.2

式を書き換えます。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.4

根号の下に極限を移動させます。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.7

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

ステップ 9.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ を $1$ で割ります。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

ステップ 9.3.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

ステップ 9.3.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

ステップ 9.3.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

ステップ 9.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 5 (\frac{1}{2})$

ステップ 9.3.3

$- 5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{2}$

ステップ 9.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{5}{2}$

10進法形式：

$- 2.5$

微分積分 例

微分積分例