微分積分例

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

ステップ 1

分数をまとめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{y}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y}}{3} \cdot (y - 3)]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (y - 3)]$

ステップ 2

$f (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ および $g (y) = y - 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \frac{d}{d y} [y - 3] + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

ステップ 3.3

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + 0) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 1 + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

ステップ 3.4.2

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

ステップ 3.5

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) (\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{6}$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

$(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 13

$(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

ステップ 15

$3$ と $\frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 16

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 17

共通因数を約分します。

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ステップ 17.1

$3$ を $6 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

ステップ 17.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 \cdot 1}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

ステップ 17.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + y \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2

分子を簡約します。

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ステップ 18.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1.1

$y$ と $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.3

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 18.2.1.3.1

$y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 18.2.1.3.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.4

$- 3$ と $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.5

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

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ステップ 18.2.5.1

$y^{\frac{1}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.2.5.2

$2 \cdot y^{\frac{1}{2}}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

$\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.3

項をまとめます。

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ステップ 18.3.1

$\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

ステップ 18.3.2

まとめる。

$\frac{2 (\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.6

$- 2$ と $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.7

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.8

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.9.1

$2$ を $2 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y^{\frac{1}{2}})}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.9.3

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

ステップ 18.3.11

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

ステップ 18.3.12

$3$ を $3 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

ステップ 18.3.13

$3$ を $- \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

ステップ 18.3.14

$3$ を $3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

ステップ 18.3.15

共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.15.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 (2)}$

ステップ 18.3.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 \cdot 2}$

ステップ 18.3.15.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4

分子を簡約します。

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ステップ 18.4.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.3.1

指数を足して $y^{\frac{1}{2}}$ に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{y^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4.3.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{y^{\frac{2}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4.3.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{y^{1} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.4.3.2

$y^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 18.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 18.6

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 18.7

$2$ を $y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{y - 1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例