微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 48 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 48$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $12 x^{2} - 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

ステップ 1.1.2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 48$ の微分係数は $0$ です。

$24 x + 0$

ステップ 1.1.2.3.2

$24 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 24 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $24 x$ です。

$24 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x = 0$

ステップ 1.2.2

$24 x = 0$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$24 x = 0$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{24}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $24$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 24 (- 2)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$24$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 48$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $- 48$ です。

$- 48$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 24 (2)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$24$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 48$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例