微分積分例

$x \sqrt{9 - x}$

ステップ 1

$x \sqrt{9 - x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \sqrt{9 - x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - x}$ を ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 9 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.3

$u$ のすべての発生を $9 - x$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.6

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.8.4

$\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.9

総和則では、 $9 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.10

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.14.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.14.2

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.14.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.14.3.1

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.14.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{- x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.14.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 2.1.16

${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.17

${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.18

${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.20

指数を足して ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.20.1

${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.20.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.20.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.20.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.20.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- x + {(9 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.21

${(9 - x)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{- x + (9 - x) \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.22

$2$ を $9 - x$ の左に移動させます。

$\frac{- x + 2 \cdot (9 - x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.23.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x + 2 \cdot 9 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.23.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.23.2.1.1

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{- x + 18 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- x + 18 - 2 x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.2.2

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.3

$3$ を $- 3 x + 18$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.23.3.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x) + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.3.2

$3$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x) + 3 (6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.3.3

$3$ を $3 (- x) + 3 (6)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x) + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.5

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.7

$- (x - 6)$ を $- 1 (x - 6)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.23.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x - 6$ および $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{1}}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

ステップ 2.2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

ステップ 2.2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

ステップ 2.2.5.3

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

ステップ 2.2.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

ステップ 2.2.5.4.2

${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

ステップ 2.2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 9 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $9 - x$ とします。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $9 - x$ で置き換えます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.9

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.12

総和則では、 $9 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

ステップ 2.2.13

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

ステップ 2.2.14

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x])}{9 - x}$

ステップ 2.2.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

ステップ 2.2.16

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

ステップ 2.2.16.2

$x - 6$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

ステップ 2.2.17

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{9 - x}$

ステップ 2.2.18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.18.1

$x - 6$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$

ステップ 2.2.18.2

$\frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$- \frac{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 3}{(9 - x) \cdot 2}$

ステップ 2.2.18.3

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.18.3.1

$3$ を ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x) \cdot 2}$

ステップ 2.2.18.3.2

$2$ を $9 - x$ の左に移動させます。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x)}$

ステップ 2.2.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (9 - x)}$

ステップ 2.2.19.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.1

$3$ を $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.1.1

$3$ を $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.1.2

$3$ を $3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.1.3

$3$ を $3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.2

$u_{2} = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.2.2

指数を足して $u_{2}$ に $u_{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.2.2.1

$u_{2}$ を移動させます。

$- \frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.2.2.2

$u_{2}$ に $u_{2}$ をかけます。

$- \frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- \frac{3 \frac{2 {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.4.1.1

${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.3.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{1} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.1.2

簡約します。

$- \frac{3 \frac{2 (9 - x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{3 \frac{2 \cdot 9 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.1.4

$2$ に $9$ をかけます。

$- \frac{3 \frac{18 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 \frac{18 - 2 x + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.2

$18$ から $6$ を引きます。

$- \frac{3 \frac{- 2 x + x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.3.4.3

$- 2 x$ と $x$ をたし算します。

$- \frac{3 \frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.4.1

$3$ と $\frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x)}$

ステップ 2.2.19.4.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$

ステップ 2.2.19.4.4

$\frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x})$

ステップ 2.2.19.4.5

$\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{18 - 2 x}$ をかけます。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x)}$

ステップ 2.2.19.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.5.1

$2$ を $18 - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.5.1.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x)}$

ステップ 2.2.19.5.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x))}$

ステップ 2.2.19.5.1.3

$2$ を $2 (9) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x))}$

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (9 - x)}$

ステップ 2.2.19.5.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.19.5.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (9 - x)}$

ステップ 2.2.19.5.2.2

$9 - x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 ({(9 - x)}^{1} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.2.19.5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2.19.5.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2.19.5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 2.2.19.5.2.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- (x) + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.7

$12$ を $- 1 (- 12)$ に書き換えます。

$- \frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 12)$ で因数分解します。

$- \frac{3 (- (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.9

$- (x - 12)$ を $- 1 (x - 12)$ に書き換えます。

$- \frac{3 (- 1 (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.10

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.19.12

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$3 (x - 12) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3 (x - 12) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$3 (x - 12) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.3.1.2.1.2

$x - 12$ を $1$ で割ります。

$x - 12 = \frac{0}{3}$

ステップ 3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x - 12 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 3.4

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例