微分積分例

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \log (\sin (3 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\log (\sin (3 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\log (\sin (3 x))$ で置き換えます。

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

ステップ 2

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = \sin (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (3 x)$ とします。

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\log (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ です。

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (3 x)$ で置き換えます。

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 3

$\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ と $e^{\log (\sin (3 x))}$ をまとめます。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

ステップ 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $3 x$ とします。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\cos (3 x)$ と $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$3$ と $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

ステップ 5.5

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

ステップ 6.2

分数を分解します。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

ステップ 6.3

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ を $\cot (3 x)$ に変換します。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

ステップ 6.4

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ と $\cot (3 x)$ をまとめます。

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$

微分積分 例

微分積分例