微分積分例

$f (x) = e^{\log (e^{5 x})}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \log (e^{5 x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\log (e^{5 x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\log (e^{5 x})$ で置き換えます。

$e^{\log (e^{5 x})} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

ステップ 2

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = e^{5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{5 x}$ とします。

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\log (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ です。

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{5 x}$ で置き換えます。

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)}$ と $e^{\log (e^{5 x})}$ をまとめます。

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 3.2

$e^{\log (e^{5 x})}$ と $e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$e^{5 x}$ を $e^{\log (e^{5 x})}$ で因数分解します。

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$e^{5 x}$ を $e^{5 x} \ln (10)$ で因数分解します。

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} (\ln (10))} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $5 x$ とします。

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 5

$e^{5 x}$ と $\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 6

指数を足して $e^{5 x}$ に $e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 6.2

$5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.1

$5 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{e^{0 + \log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 6.2.2

$0$ と $\log (e^{5 x})$ をたし算します。

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$5$ と $\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \cdot 1$

ステップ 10

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$

微分積分 例

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