微分積分例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{1 + x}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

まとめる。

$\frac{x (\frac{1}{x} + 1 - \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{1}{x} + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{1}{x} + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- (x \ln (x) - x - 1)$ を $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 4.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例