微分積分例

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}]$ を $\frac{d}{d x} [2 x - 3]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 12 x + 9}]$

ステップ 1.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2}}]$

ステップ 1.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

ステップ 1.1.4

多項式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2}}]$

ステップ 1.1.5

$a = 2 x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x - 3)}^{2}}]$

ステップ 1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 2

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 7

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

微分積分 例