微分積分例

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

ステップ 1

$f (t) = t - 5$ および $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $t - 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ です。

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$t^{2} + 10 t + 25$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $t^{2} + 10 t + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.7

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $10 t$ の微分係数は $10 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.9

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.10

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 2.11

$2 t + 10$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- t + 5) (2 t + 10)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.4

$10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.5

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.6

$5$ に $10$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.2

$- 10 t$ と $10 t$ をたし算します。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.3

$- 2 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$25$ と $50$ をたし算します。

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3

群による因数分解。

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ステップ 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ で和が $b = 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$10$ を $10 t$ で因数分解します。

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$10$ を $- 5$ プラス $15$ に書き換える

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

最大公約数 $- t - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

ステップ 3.4.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$a = t$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.2

${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.4.3

二項定理を利用します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

ステップ 3.4.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

ステップ 3.4.4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

ステップ 3.4.4.3

$25$ に $6$ をかけます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

ステップ 3.4.4.4

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

ステップ 3.4.4.5

$125$ に $4$ をかけます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

ステップ 3.4.4.6

$5$ を $4$ 乗します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

ステップ 3.4.5

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

ステップ 3.4.6

2項式の定理を利用して $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ を因数分解します。

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.5

$- t - 5$ と ${(t + 5)}^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ を $- t$ で因数分解します。

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.5.2

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.5.3

$- 1$ を $- (t) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.5.4

$- (t + 5)$ を $- 1 (t + 5)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.5.5

$t + 5$ を $- 1 (t + 5) (t - 15)$ で因数分解します。

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

ステップ 3.5.6

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.6.1

$t + 5$ を ${(t + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

ステップ 3.5.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

ステップ 3.5.6.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例