微分積分例

$f (x) = \frac{t + 1}{2^{t}}$

ステップ 1

$f (t) = t + 1$ および $g (t) = 2^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{{(2^{t})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(2^{t})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{t \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{2^{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2^{t} (1 + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

ステップ 2.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2^{t} (1 + 0) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2^{t} \cdot 1 - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

ステップ 2.5.2

$2^{t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2^{t} - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

ステップ 3

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2^{t} - (t + 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2^{t} + (- t - 1 \cdot 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 \cdot 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

ステップ 4.3.2

$- 1 (2^{t} \ln (2))$ を $- (2^{t} \ln (2))$ に書き換えます。

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

$\frac{2^{t} - t \cdot 2^{t} \ln (2) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 2^{t} t \ln (2) - 2^{t} \ln (2) + 2^{t}}{2^{2 t}}$

微分積分 例

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