微分積分例

$f (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\sin^{2} (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \cos (x)$

ステップ 4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$

ステップ 4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) + \cos (x)$

微分積分 例