微分積分例

$h (y) = {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{3}$

ステップ 1

$f (b) = b^{3}$ および $g (b) = \frac{b}{a + y^{4}}$ のとき、 $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ は $f' (g (b)) g' (b)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{b}{a + y^{4}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{b}{a + y^{4}}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{a + y^{4}}$ は $b$ に対して定数なので、 $b$ に対する $\frac{b}{a + y^{4}}$ の微分係数は $\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b]$ です。

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} (\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{a + y^{4}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [b]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ は $n b^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{3}{a + y^{4}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{b}{a + y^{4}}$ に当てはめます。

$\frac{3}{a + y^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3}{a + y^{4}}$ に $\frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{3 b^{2}}{(a + y^{4}) {(a + y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

指数を足して $a + y^{4}$ に ${(a + y^{4})}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

$a + y^{4}$ に ${(a + y^{4})}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.2.2.1.1

$a + y^{4}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1} {(a + y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1 + 2}}$

ステップ 3.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{3}}$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$\frac{3 b^{2}}{{(y^{4} + a)}^{3}}$

微分積分 例

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