微分積分例

$P (t) = (t^{2} + 100) \ln (t + 2)$

ステップ 1

$f (t) = t^{2} + 100$ および $g (t) = \ln (t + 2)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(t^{2} + 100) \frac{d}{d t} [\ln (t + 2)] + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 2

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = t + 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t + 2$ とします。

$(t^{2} + 100) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $t + 2$ で置き換えます。

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{t + 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $t + 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ です。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 3.3

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + 0) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} \cdot 1 + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 3.4.2

$t^{2} + 100$ に $1$ をかけます。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

ステップ 3.5

総和則では、 $t^{2} + 100$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100]$ です。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100])$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + \frac{d}{d t} [100])$

ステップ 3.7

$100$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + 0)$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t)$

ステップ 3.8.2

項を並べ替えます。

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + 2 t \ln (t + 2)$

微分積分 例

微分積分例