微分積分例

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x} + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ の因数を並べ替えます。

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

ステップ 5.2

$e^{x} + \frac{1}{x}$ に $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ をかけます。

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

ステップ 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

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ステップ 5.3.1

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

ステップ 5.3.2

まとめる。

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

ステップ 5.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

ステップ 5.5.2

式を書き換えます。

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

ステップ 5.6

$x$ を $x e^{x} + x \ln (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$x$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

ステップ 5.6.2

$x$ を $x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

ステップ 5.6.3

$x$ を $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$

微分積分 例

微分積分例