微分積分例

$g (r) = r^{2} \ln (2 r + 1)$

ステップ 1

$f (r) = r^{2}$ および $g (r) = \ln (2 r + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ は $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$r^{2} \frac{d}{d r} [\ln (2 r + 1)] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 2

$f (r) = \ln (r)$ および $g (r) = 2 r + 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ は $f' (g (r)) g' (r)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 r + 1$ とします。

$r^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$r^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 r + 1$ で置き換えます。

$r^{2} (\frac{1}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2 r + 1}$ と $r^{2}$ をまとめます。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 r + 1$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]$ です。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.3

$2$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $2 r$ の微分係数は $2 \frac{d}{d r} [r]$ です。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.6

$1$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + 0) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \cdot 2 + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.7.2

$\frac{r^{2}}{2 r + 1}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{r^{2} \cdot 2}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.7.3

$2$ を $r^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) (2 r)$

ステップ 4

$\ln (2 r + 1) (2 r)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 r + 1}{2 r + 1}$ を掛けます。

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \frac{\ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 r^{2} + \ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln (2 r + 1) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2 r + 1)$ を簡約します。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r) + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.5

$\ln ({(2 r + 1)}^{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.6.1

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

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ステップ 6.1.6.1.1

$r$ を移動させます。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) (r \cdot r) + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.6.1.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.6.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ を簡約します。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({({(2 r + 1)}^{2})}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.6.3

${({(2 r + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2 \cdot 2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

ステップ 6.1.6.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

ステップ 6.2

$2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 r^{2} + r^{2} \ln ({(2 r + 1)}^{4}) + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

微分積分 例

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