微分積分例

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 1)$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \ln (e^{2 t} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 1)] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = e^{2 t} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 t} + 1$ とします。

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 t} + 1$ で置き換えます。

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3

和の法則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{e^{2 t} + 1}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{2 t} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 t$ とします。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.3.2

$2$ を $e^{2 t}$ の左に移動させます。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.5

分数をまとめます。

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ステップ 5.5.1

$2 e^{2 t}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.5.2

$2$ と $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.5.3

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ と $e^{2 t}$ をまとめます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 5.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$

ステップ 6

$\ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{2 t} + 1}{e^{2 t} + 1}$ を掛けます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \frac{\ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 1) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 8.1.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (e^{2 t} + 1)$ を簡約します。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 8.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t \cdot 1}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 8.1.1.4

$\ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 8.1.2

$2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

微分積分 例

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