微分積分例

$g (x) = (x^{4} - 16) (x^{2} - 4)$

ステップ 1

$f (x) = x^{4} - 16$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{4} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

ステップ 2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{4} - 16) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{4} - 16) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

ステップ 2.4.2

$2$ を $x^{4} - 16$ の左に移動させます。

$2 \cdot (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 2.6

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 2.7

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + 0)$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3})$

ステップ 2.8.2

$4$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$2 (x^{4} - 16) x + 4 \cdot (x^{2} - 4) x^{3}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{4} + 2 \cdot - 16) x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x^{3}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5

項をまとめます。

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ステップ 3.5.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$2 x^{5} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.4

$2$ に $- 16$ をかけます。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.5.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.5.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

ステップ 3.5.6

$4$ に $- 4$ をかけます。

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3}$

ステップ 3.5.7

$2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$6 x^{5} - 32 x - 16 x^{3}$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$6 x^{5} - 16 x^{3} - 32 x$

微分積分 例

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