微分積分例

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{5}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.2

$x$ に $x^{5}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.3

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4

$2$ を $x^{6}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 6.2

$x^{4}$ を $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x^{4}$ を $2 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 6.2.2

$x^{4}$ を $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

ステップ 6.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

ステップ 7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

ステップ 8.2.2

$2 x^{2}$ から $5 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

ステップ 8.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

ステップ 8.5

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

ステップ 8.6

$- (3 x^{2} + 5)$ を $- 1 (3 x^{2} + 5)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

ステップ 8.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例