微分積分例

$g (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5}$

ステップ 1

$f (x) = {(x - 1)}^{2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{(x - 5) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.9

式を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{(2 x - 10) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 10) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (x - 1) - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.1.3

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.2

$- 2 x$ から $10 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.4

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.8.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 12 x + 10 + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$- 12 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 10 x + 10 - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$10$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 10 x + 9$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $9$ で、その和が $- 10$ です。

$- 9, - 1$

ステップ 4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例