微分積分例

$g (x) = e^{x} \ln (3 x + 11)$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (3 x + 11)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 11)] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x + 11$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 11$ とします。

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 11$ で置き換えます。

$e^{x} (\frac{1}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3 x + 11}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 x + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.6

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + 0) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \cdot 3 + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.7.2

$\frac{e^{x}}{3 x + 11}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 3}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.7.3

$3$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) e^{x}$

ステップ 5

$\ln (3 x + 11) e^{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x + 11}{3 x + 11}$ を掛けます。

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \frac{\ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x) + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

ステップ 7.1.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

ステップ 7.1.1.3

対数の中の $11$ を移動させて $11 \ln (3 x + 11)$ を簡約します。

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

ステップ 7.1.1.4

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (3 x + 11)$ を簡約します。

$\frac{3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

ステップ 7.1.2

$3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 e^{x} + x e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11})}{3 x + 11}$

ステップ 7.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11}) + 3 e^{x}}{3 x + 11}$

微分積分 例

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