微分積分例

$g (x) = \sqrt{x} + {(x - 3)}^{3}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{x} + {(x - 3)}^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1$

ステップ 3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

ステップ 5.1.2

$3 {(x - 3)}^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.3

$3 {(x - 3)}^{2}$ と $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - 3)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 3 {(x - 3)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 + 6 {(x - 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例