微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ および $1$ で $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$t^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

ステップ 4.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 2}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

ステップ 4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

極限を求めます。

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ステップ 5.1.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

ステップ 5.1.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

ステップ 5.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{t^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

ステップ 5.3

極限を求めます。

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ステップ 5.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{2}$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.2

$0$ と $\frac{1}{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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