微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{3}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} - 96 x + 36$ です。

$36 x^{2} - 96 x + 36$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

ステップ 2.2

$12$ を $36 x^{2} - 96 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

ステップ 2.2.2

$12$ を $- 96 x$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

ステップ 2.2.3

$12$ を $36$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

ステップ 2.2.4

$12$ を $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

ステップ 2.2.5

$12$ を $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

ステップ 2.3

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$3 x^{2} - 8 x + 3$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $12$ で割ります。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

ステップ 2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5

$a = 3$ 、 $b = - 8$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 2.6.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 2.7.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 2.8.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$2.21525043$ を $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $2.21525043$ で置換えます。

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$2.21525043$ を $4$ 乗します。

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ に $24.08193188$ をかけます。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

$2.21525043$ を $3$ 乗します。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 16$ に $10.87097489$ をかけます。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.5

$2.21525043$ を $2$ 乗します。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

ステップ 3.1.2.1.6

$18$ に $4.90733449$ をかけます。

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$72.24579564$ から $173.93559828$ を引きます。

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 101.68980263$ と $88.33202097$ をたし算します。

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 13.35778166$ です。

$- 13.35778166$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ で代入して $2.21525043$ 求めた点は、 $(2.21525043, - 13.35778166)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2.21525043, - 13.35778166)$

ステップ 3.3

$0.45141622$ を $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $0.45141622$ で置換えます。

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$0.45141622$ を $4$ 乗します。

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ に $0.0415249$ をかけます。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

$0.45141622$ を $3$ 乗します。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 16$ に $0.09198807$ をかけます。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.5

$0.45141622$ を $2$ 乗します。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

ステップ 3.3.2.1.6

$18$ に $0.20377661$ をかけます。

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$0.12457472$ から $1.47180912$ を引きます。

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 1.34723439$ と $3.66797902$ をたし算します。

$f (0.45141622) = 2.32074462$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $2.32074462$ です。

$2.32074462$

ステップ 3.4

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ で代入して $0.45141622$ 求めた点は、 $(0.45141622, 2.32074462)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.45141622, 2.32074462)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0.45141622)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.35141622$ で置換えます。

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0.35141622$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $0.12349336$ をかけます。

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

ステップ 5.2.1.3

$- 96$ に $0.35141622$ をかけます。

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4.44576119$ から $33.73595804$ を引きます。

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

ステップ 5.2.2.2

$- 29.29019685$ と $36$ をたし算します。

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $6.70980314$ です。

$6.70980314$

ステップ 5.3

$0.35141622$ で二次導関数は $6.70980314$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0.45141622)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.45141622)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0.45141622, 2.21525043)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$1.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $1.\overline{7}$ をかけます。

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

ステップ 6.2.1.3

$- 96$ に $1.\overline{3}$ をかけます。

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$64$ から $128$ を引きます。

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$- 64$ と $36$ をたし算します。

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 28$ です。

$- 28$

ステップ 6.3

$1.\overline{3}$ で二次導関数は $- 28$ です。これは負の値なので、 $(0.45141622, 2.21525043)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.45141622, 2.21525043)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2.21525043, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.31525043$ で置換えます。

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2.31525043$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

ステップ 7.2.1.2

$36$ に $5.36038458$ をかけます。

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

ステップ 7.2.1.3

$- 96$ に $2.31525043$ をかけます。

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$192.9738451$ から $222.26404195$ を引きます。

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

ステップ 7.2.2.2

$- 29.29019685$ と $36$ をたし算します。

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $6.70980314$ です。

$6.70980314$

ステップ 7.3

$2.31525043$ で二次導関数は $6.70980314$ です。これは正の値なので、 $(2.21525043, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2.21525043, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例