微分積分例

$f (x) = \ln (12 - 9 x^{2} + 2 x^{4})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ です。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.4

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.6

$2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 (4 x^{3}))$

ステップ 2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$

ステップ 2.9.2

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$ の因数を並べ替えます。

$(- 18 x + 8 x^{3}) \frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}}$

微分積分 例

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