微分積分例

$f (x) = \ln (\sin (x) + \cos (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x) + \cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x) + \cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$(\cos (x) - \sin (x)) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 5.3

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

微分積分 例