微分積分例

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 a x}$ を ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ を $2 a x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2.2

積の法則を $2 (a x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.4.2

${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ および $g (a) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x$ とします。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 8

${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 10

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 11

指数を足して $2^{\frac{1}{2}}$ に $2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ を移動させます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 11.2

$2$ に $2^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 11.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 11.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 11.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 12

$x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x$ の微分係数は $x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

ステップ 13

$x$ と $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

ステップ 14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

ステップ 15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

積の法則を $a x$ に当てはめます。

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{1}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

ステップ 16.2.2

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$x^{- 1}$ を移動させます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 16.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

ステップ 16.2.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 16.2.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 16.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

ステップ 16.2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

ステップ 16.2.2.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例