微分積分例

$x e^{a x}$

ステップ 1

$x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $x e^{a x}$ の微分係数は $x \frac{d}{d a} [e^{a x}]$ です。

$x \frac{d}{d a} [e^{a x}]$

ステップ 2

$f (a) = e^{a}$ および $g (a) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$x (e^{a x} \frac{d}{d a} [a x])$

ステップ 3

$x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x$ の微分係数は $x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$x (e^{a x} (x \frac{d}{d a} [a]))$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{1} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 1} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{a x} \cdot 1)$

ステップ 9

$e^{a x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{a x}$

微分積分 例