微分積分例

$x^{2} - x - \ln (x)$

ステップ 1

$x^{2} - x - \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x - \frac{1}{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 3.5.2

$2 + \frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 5.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{1}{x} - 1$ です。

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1, 1$

ステップ 6.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 6.3

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ の各項に $x$ を掛けます。

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 6.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 6.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$0$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

ステップ 6.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

項を並べ替えます。

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

ステップ 6.4.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.2.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

ステップ 6.4.1.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

ステップ 6.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

ステップ 6.4.1.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

ステップ 6.4.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

ステップ 6.4.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

ステップ 6.4.1.4

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4.3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 6.4.3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 6.4.3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 6.4.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.4.5

最終解は $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1} + 2$

ステップ 10.1.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1 + 2$

ステップ 10.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$3$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

ステップ 12.2.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = 1 - 1 - 0$

ステップ 12.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 1 - 1 + 0$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = 0 + 0$

ステップ 12.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (1) = 0$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ の極値です。

$(1, 0)$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例