微分積分例

$z (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 2}{t + 9}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2} + 5 t + 2$ および $g (t) = t + 9$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t + 2] - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $t^{2} + 5 t + 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]$ です。

$\frac{(t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.3

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.5

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.6

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 t + 5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $t + 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ です。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.10

$9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + 0)}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \cdot 1}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2)}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(t + 9) (2 t + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t (2 t + 5) + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 t \cdot t + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.3

$5$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{2 t^{2} + 5 \cdot t + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.4

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.5

$9$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$5 t$ と $18 t$ をたし算します。

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2 t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$\frac{t^{2} + 23 t + 45 - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$23 t$ から $5 t$ を引きます。

$\frac{t^{2} + 18 t + 45 - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$45$ から $2$ を引きます。

$\frac{t^{2} + 18 t + 43}{{(t + 9)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例