微分積分例

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

ステップ 1

$x^{5} e^{- x^{4}}$ を $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

ステップ 2.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

ステップ 2.1.3

指数 $x^{4}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{4}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

ステップ 2.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$e^{x^{4}} (4 x^{3})$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

ステップ 2.3.5.2

$4 e^{x^{4}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

ステップ 2.4

$x^{4}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{3}$ を $4 x^{3} e^{x^{4}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

ステップ 3

$\frac{5}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

ステップ 4.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

ステップ 4.1.3

指数 $x^{4}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x^{4}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

ステップ 4.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

ステップ 4.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 4.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 4.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

ステップ 4.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$e^{x^{4}} (4 x^{3})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

ステップ 4.3.5.2

$4 e^{x^{4}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{5}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

ステップ 7.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{5}{16} \cdot 0$

ステップ 7.2

$\frac{5}{16}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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