微分積分例

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

ステップ 1

$f (n) = n^{2}$ および $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ は $f' (g (n)) g' (n)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ で置き換えます。

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ と $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

ステップ 2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ は $n$ に対して定数なので、 $n$ に対する $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ です。

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

ステップ 2.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ をかけます。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

ステップ 3

$f (n) = n (n + 1)$ および $g (n) = n^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ は $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(n^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

ステップ 4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

ステップ 4.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

ステップ 4.3.2

$n^{3}$ を $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$n^{3}$ を $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ で因数分解します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

ステップ 4.3.2.2

$n^{3}$ を $- 4 n (n + 1) n^{3}$ で因数分解します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

ステップ 4.3.2.3

$n^{3}$ を $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ で因数分解します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$n^{3}$ を $n^{8}$ で因数分解します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ に $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ をかけます。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

ステップ 6.2

指数を足して $n^{4}$ に $n^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$n^{5}$ を移動させます。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

ステップ 6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

ステップ 6.2.3

$5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$

微分積分 例

微分積分例