微分積分例

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

ステップ 1

$r$ は $n$ に対して定数なので、 $n$ に対する $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ の微分係数は $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ です。

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

ステップ 2

$f (n) = n$ および $g (n) = 1 + (n - 1) r$ のとき、 $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ は $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.2

$1 + (n - 1) r$ に $1$ をかけます。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 + (n - 1) r$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ です。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.4

$1$ は $n$ について定数なので、 $n$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ をたし算します。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.6

$r$ は $n$ に対して定数なので、 $n$ に対する $(n - 1) r$ の微分係数は $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ です。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $n - 1$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ です。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 1$ は $n$ について定数なので、 $n$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 3.10.3

$r$ と $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

$r (n r)$ と $r (- n r)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.2

$n r \cdot r$ から $n r \cdot r$ を引きます。

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.3

$r \cdot 1 + r (- 1 r)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$r$ に $1$ をかけます。

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.3

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

$r$ を移動させます。

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.3.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1 r$ を $- r$ に書き換えます。

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

$r$ を $- r^{2} + r$ で因数分解します。

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ステップ 4.7.1

$r$ を $- r^{2}$ で因数分解します。

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.2

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.3

$r$ を $r^{1}$ で因数分解します。

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.4

$r$ を $r (- r) + r \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- r$ で因数分解します。

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (r) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.11

$- (r - 1)$ を $- 1 (r - 1)$ に書き換えます。

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例