微分積分例

$\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

ステップ 1

$f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ および $g (q) = \cos (q)$ のとき、 $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ は $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 2

総和則では、 $\cos (q) - \sin (q)$ の $q$ に関する積分は $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ です。

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 3

$q$ に関する $\cos (q)$ の微分係数は $- \sin (q)$ です。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 4

$- 1$ は $q$ に対して定数なので、 $q$ に対する $- \sin (q)$ の微分係数は $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ です。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 5

$q$ に関する $\sin (q)$ の微分係数は $\cos (q)$ です。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 6

$q$ に関する $\cos (q)$ の微分係数は $- \sin (q)$ です。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 7

掛け算します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 7.2

$\cos (q) - \sin (q)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.3.1.1

$\cos (q) (- \sin (q))$ と $\cos (q) \sin (q)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.1.2

$- \cos (q) \sin (q)$ と $\cos (q) \sin (q)$ をたし算します。

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.1.3

$\cos (q) (- \cos (q))$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.2

$- \cos (q) \cos (q)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.2.1

$\cos (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.2.2

$\cos (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.3

$- \sin (q) \sin (q)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.3.1

$\sin (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.3.2

$\sin (q)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ を $- \cos^{2} (q)$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.4

$- 1$ を $- \sin^{2} (q)$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.5

$- 1$ を $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.6

項を並べ替えます。

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.4

項をまとめます。

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ステップ 8.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

ステップ 8.4.2

$\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ を $\sec^{2} (q)$ に変換します。

$- \sec^{2} (q)$

微分積分 例

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