微分積分例

$\frac{q \sin (q)}{q^{2} - 1}$

ステップ 1

$f (q) = q \sin (q)$ および $g (q) = q^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ は $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(q^{2} - 1) \frac{d}{d q} [q \sin (q)] - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2

$f (q) = q$ および $g (q) = \sin (q)$ のとき、 $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ は $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \frac{d}{d q} [\sin (q)] + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$q$ に関する $\sin (q)$ の微分係数は $\cos (q)$ です。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ は $n q^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \cdot 1) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$\sin (q)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $q^{2} - 1$ の $q$ に関する積分は $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1]$ です。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ は $n q^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ は $q$ について定数なので、 $q$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + 0)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2 q$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q \sin (q) q}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$q$ を $1$ 乗します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 6

$q$ を $1$ 乗します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q^{1}) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{1 + 1} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q))$ を展開します。

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ステップ 9.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{q^{2} (q \cos (q) + \sin (q)) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

指数を足して $q^{2}$ に $q$ を掛けます。

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ステップ 9.1.2.1.1

$q$ を移動させます。

$\frac{q \cdot q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2.1.2

$q$ に $q^{2}$ をかけます。

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ステップ 9.1.2.1.2.1

$q$ を $1$ 乗します。

$\frac{q^{1} q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{q^{1 + 2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2.2

$- 1 (q \cos (q))$ を $- (q \cos (q))$ に書き換えます。

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2.3

$- 1 \sin (q)$ を $- \sin (q)$ に書き換えます。

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 9.2

$q^{2} \sin (q)$ から $2 q^{2} \sin (q)$ を引きます。

$\frac{q^{3} \cos (q) - q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例