微分積分例

$\log_{5} (9^{s} - 4)$

ステップ 1

$f (s) = \log_{5} (s)$ および $g (s) = 9^{s} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9^{s} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\log_{5} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (5)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $9^{s} - 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

ステップ 2

総和則では、 $9^{s} - 4$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4]$ です。

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4])$

ステップ 3

$a$ = $9$ のとき、 $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ は $a^{s} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + \frac{d}{d s} [- 4])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 4$ は $s$ について定数なので、 $s$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + 0)$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$9^{s} \ln (9)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9))$

ステップ 4.2.2

$9^{s}$ と $\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \ln (9)$

ステップ 4.2.3

$\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ と $\ln (9)$ をまとめます。

$\frac{9^{s} \ln (9)}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$

ステップ 4.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{9^{s} \ln (9)}{9^{s} \ln (5) - 4 \ln (5)}$

微分積分 例