微分積分例

$\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$10000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ の微分係数は $10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$ です。

$10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ を ${(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}$ に書き換えます。

$10000 \frac{d}{d t} [{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 9 + 4 e^{- 0.2 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ とします。

$10000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ で置き換えます。

$10000 (- {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $10000$ をかけます。

$- 10000 ({(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ です。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

ステップ 3.3

$9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ をたし算します。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$

ステップ 3.5

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 e^{- 0.2 t}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$ です。

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

ステップ 3.6

$4$ に $- 10000$ をかけます。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - 0.2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 0.2 t$ とします。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 0.2 t$ で置き換えます。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 0.2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 0.2 t$ の微分係数は $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.2

$- 0.2$ に $- 40000$ をかけます。

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \cdot 1)$

ステップ 5.4

$e^{- 0.2 t}$ に $1$ をかけます。

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$ の因数を並べ替えます。

$8000 e^{- 0.2 t} {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2}$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$

ステップ 6.3

$8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ と $8000$ をまとめます。

$\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}} e^{- 0.2 t}$

ステップ 6.3.2

$\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ と $e^{- 0.2 t}$ をまとめます。

$\frac{8000 e^{- 0.2 t}}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$

微分積分 例

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