微分積分例

$\frac{3 t - 1}{t^{2} + 5 t}$

ステップ 1

$f (t) = 3 t - 1$ および $g (t) = t^{2} + 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 5 t) \frac{d}{d t} [3 t - 1] - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + 0) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t^{2} + 5 t) \cdot 3 - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$3$ を $t^{2} + 5 t$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $t^{2} + 5 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ です。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.9

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \cdot 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 2.11

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t + 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 t + 1) (2 t + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t + 5) + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.4.1.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.1.4

$5$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.1.5

$2 t$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.1.6

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.2

$- 15 t$ と $2 t$ をたし算します。

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$3 t^{2}$ から $6 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$15 t$ から $13 t$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{2} + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.4

群による因数分解。

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ステップ 3.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.4.1.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$\frac{- 3 t^{2} + 2 (t) + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ を $- 3$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{- 3 t^{2} + (- 3 + 5) t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 t^{2} - 3 t + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- 3 t^{2} - 3 t) + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 t (- t - 1) - 5 (- t - 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

最大公約数 $- t - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$t$ を $t^{2} + 5 t$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + 5 t)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$t$ を $5 t$ で因数分解します。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + t \cdot 5)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

$t$ を $t \cdot t + t \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t (t + 5))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

積の法則を $t (t + 5)$ に当てはめます。

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- t$ で因数分解します。

$\frac{(- (t) - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{(- (t) - 1 (1)) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- (t) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- (t + 1)$ を $- 1 (t + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例