微分積分例

$\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$

ステップ 1

$500$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$ の微分係数は $500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$ です。

$500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = 2 t^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.2

$2 t^{2} + 25$ に $1$ をかけます。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 t^{2} + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.7

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$4 t$ と $0$ をたし算します。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 4

$t$ を $1$ 乗します。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5

$t$ を $1$ 乗します。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t^{1})}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{1 + 1}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 8

$2 t^{2}$ から $4 t^{2}$ を引きます。

$500 \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 9

$500$ と $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 2$ に $500$ をかけます。

$\frac{- 1000 t^{2} + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$500$ に $25$ をかけます。

$\frac{- 1000 t^{2} + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.3

$500$ を $- 1000 t^{2} + 12500$ で因数分解します。

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ステップ 10.3.1

$500$ を $- 1000 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.3.2

$500$ を $12500$ で因数分解します。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.3.3

$500$ を $500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)$ で因数分解します。

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.4

$- 1$ を $- 2 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.5

$25$ を $- 1 (- 25)$ に書き換えます。

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.6

$- 1$ を $- (2 t^{2}) - 1 (- 25)$ で因数分解します。

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.7

$- (2 t^{2} - 25)$ を $- 1 (2 t^{2} - 25)$ に書き換えます。

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 10.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{500 (2 t^{2} - 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例