微分積分例

$\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$ です。

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}$ を ${(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}$ に書き換えます。

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{2} + 5 t - 9$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2} + 5 t - 9$ とします。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $t^{2} + 5 t - 9$ で置き換えます。

$6 (- {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 ({(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

ステップ 3.2

総和則では、 $t^{2} + 5 t - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 3.4

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 3.7

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + 0)$

ステップ 3.8

$2 t + 5$ と $0$ をたし算します。

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 6 \frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 6$ と $\frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

ステップ 4.3

$- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 t + 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 t) - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 t - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$(- 2 t - 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 2 t - 5$ に $\frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 t - 5) \cdot 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.8

$6$ を $- 2 t - 5$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot (- 2 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (2 t) - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- (2 t) - 1 (5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.11

$- 1$ を $- (2 t) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.12

$- (2 t + 5)$ を $- 1 (2 t + 5)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- 1 (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

ステップ 4.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

微分積分 例

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