微分積分例

$\frac{t - 1}{t^{2} + 1}$

ステップ 1

$f (t) = t - 1$ および $g (t) = t^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$t^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} + 1 + (- 2 t - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t \cdot t) - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- t^{2} + 1 + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $2 t$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ を $- (t^{2}) - (- 2 t)$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 1$ を $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

$- (t^{2} - 2 t - 1)$ を $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例