微分積分例

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

ステップ 1

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 1 - \cos (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - \cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ です。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \cos (t)$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ です。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 4

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 5

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 6

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$\cos (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

$- \cos (t) \cos (t)$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ を $- \cos^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $- \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.4

$- 1$ を $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.5

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.3

項をまとめます。

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ステップ 9.3.1

$\cos (t) - 1$ と ${(1 - \cos (t))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1

$- 1$ を $\cos (t)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.3.1.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.3.1.3

$- 1$ を $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.3.1.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.3.1.5

$1 - \cos (t)$ を $- 1 (1 - \cos (t))$ で因数分解します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

ステップ 9.3.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.6.1

$1 - \cos (t)$ を ${(1 - \cos (t))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

ステップ 9.3.1.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

ステップ 9.3.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

ステップ 9.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$

微分積分 例

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